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偶空间，σ(F′，F)为F′上的弱*拓扑， D(A?)ˉσ(F′，F)表示 D(A?)在弱*拓扑σ(F′，F)下的闭包。】
将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。
【结论 1：设F是E的子向量空间满足Fˉ≠E.则存在 f∈E'不为 0，使得(f，x)=0，?x∈F。
结论2：设?:E′→R是线性映射，且对拓扑σ(E′，E)连续，则存在 x∈E使得?(f)=(f，x)，?f∈E′。
证明：设?是F′上对拓扑σ(F′，F)连续的线性泛函，在D(A?)上取值为0。由结论1，为证弱*拓扑下的稠密性，只需证明?≡0。
由结论 2，存在x∈F使得……】
庞学林的书写速度很快，整个证明过程几乎没怎么停顿，只用了不到两分钟，就完成了答题工作。
“老师，答完了，应该没什么问题吧？”
王崇庆有些出神，这道题在泛函分析中，算的上是压轴大题了，对本科生而言，有一定难度。
他原本都准备等庞学林答不出来的时候，再好好教训他一番，可没想到到这家伙的基础似乎还不错，竟然眨眼间就给出了证明。
无论是证明思路还是过程，都简洁明了，几乎无懈可击。
台下，也响起了学生们的议论声。
“这家伙到底是谁啊，深藏不漏呀！”
“这道题我一直没什么思路，没想到他竟然这么快就给解出来了。”
“看样子我们数学系牛人还挺多的。”
……
不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。
王崇庆脸色微沉，上课睡觉，就算成绩再好也不行，他可不想轻易放过这家伙。
他想了想，说道：“这位同学，看来你的基础不错，那你就给大家讲讲，你对泛函分析这门课的理解吧。”
泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程，这也是它难学的原因，就算让一位博士上台，也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。
王崇庆嘴角微微翘起，他可不相信一个本科生有这样的能耐。
“老师，你确定……让我来讲课？”
庞学林笑了起来。
“确定！”
王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异，不过他还是点了点头。
庞学林道：“既然如此，那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”
“众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、Fredholm， Hilbert关于积分方程的工作；二、Volterra 和Hadamard 关于动量问题的研究；三、Lebesgue， Frechet 和 Riesz 在抽象空间上的工作以及最后，Hahn 和Banach关于对偶这个概念的研究……”
偶空间，σ(F′，F)为F′上的弱*拓扑， D(A?)ˉσ(F′，F)表示 D(A?)在弱*拓扑σ(F′，F)下的闭包。】
将题目浏览完，庞学林几乎没怎么思考，直接开始在下面写下答案。
【结论 1：设F是E的子向量空间满足Fˉ≠E.则存在 f∈E'不为 0，使得(f，x)=0，?x∈F。
结论2：设?:E′→R是线性映射，且对拓扑σ(E′，E)连续，则存在 x∈E使得?(f)=(f，x)，?f∈E′。
证明：设?是F′上对拓扑σ(F′，F)连续的线性泛函，在D(A?)上取值为0。由结论1，为证弱*拓扑下的稠密性，只需证明?≡0。
由结论 2，存在x∈F使得……】
庞学林的书写速度很快，整个证明过程几乎没怎么停顿，只用了不到两分钟，就完成了答题工作。
“老师，答完了，应该没什么问题吧？”
王崇庆有些出神，这道题在泛函分析中，算的上是压轴大题了，对本科生而言，有一定难度。
他原本都准备等庞学林答不出来的时候，再好好教训他一番，可没想到到这家伙的基础似乎还不错，竟然眨眼间就给出了证明。
无论是证明思路还是过程，都简洁明了，几乎无懈可击。
台下，也响起了学生们的议论声。
“这家伙到底是谁啊，深藏不漏呀！”
“这道题我一直没什么思路，没想到他竟然这么快就给解出来了。”
“看样子我们数学系牛人还挺多的。”
……
不少人纷纷将目光聚焦到庞学林身上。
王崇庆脸色微沉，上课睡觉，就算成绩再好也不行，他可不想轻易放过这家伙。
他想了想，说道：“这位同学，看来你的基础不错，那你就给大家讲讲，你对泛函分析这门课的理解吧。”
泛函分析本质上属于高度抽象化的一门课程，这也是它难学的原因，就算让一位博士上台，也不一定能完完整整地将自己对这门课的理解描述出来。
王崇庆嘴角微微翘起，他可不相信一个本科生有这样的能耐。
“老师，你确定……让我来讲课？”
庞学林笑了起来。
“确定！”
王崇庆隐隐感觉到对方的笑容中有点诡异，不过他还是点了点头。
庞学林道：“既然如此，那我就从泛函分析这门课的历史开始说起吧。”
“众所周知，泛函分析这门学科诞生于20世纪的初期，本身是数学发展中公理化的一个结果。也就说，数学家希望实现分析学的公理化。同样的公理化运动也出现在几何和代数上。现在的泛函分析已经变成一个庞然巨兽了，特别是把它和调和分析放在一起的时候，很难分清楚什么叫做调和分析，什么叫做泛函分析。不过我接下来要讲的不是为了搞清楚它的定义，而是关注它的基础和未来的发展趋势。”
“我们首先讨论一些早期的抽象分析，尤其是数学家如何将一个特殊的例子扩大化，使之成为一般意义上的定理。我们的讨论主要涵盖以下内容。一、Fredholm， Hilbert关于积分方程的工作；二、Volterra 和Hadamard 关于动量问题的研究；三、Lebesgue， Frechet 和 Riesz 在抽象空间上的工作以及最后，Hahn 和Banach关于对偶这个概念的研究……”